Quantum Information Theory in Condensed Matter Physics

Abstract

In the “standard” Gizburg-Landau approach, a phase transition is intimately connected to a local order parameter, that spontaneously breaks some symmetries. In addition to the “traditional” symmetry-breaking ordered phases, a complex quantum system exhibits exotic phases, without classical counterpart, that can be described, for example, by introducing non-local order parameters that preserve symmetries. In this scenario, this thesis aims to shed light on open problems, such as the local distinguishability between ground states of a symmetry-breaking ordered phase and the classification of one dimensional quantum orders, in terms of entanglement measures, in systems for which the Gizburg-Landau approach fails. In particular, I briefly introduce the basic tools that allow to understand the nature of entangled states and to quantify non-classical correlations. Therefore, I analyze the conjecture for which the maximally symmetry-breaking ground states (MSBGSs) are the most classical ones, and thus the only ones selected in real-world situations, among all the ground states of a symmetry-breaking ordered phase. I make the conjecture quantitatively precise, by proving that the MSBGSs are the only ones that: i) minimize pairwise quantum correlations, as measured by the quantum discord; ii) are always local convertible, by only applying LOCC transformations; iii) minimize the residual tangle, satisfying at its minimum the monogamy of entanglement. Moreover, I analyze how evolves the distinguishability, after a sudden change of the Hamiltonian parameters. I introduce a quantitative measure of distinguishability, in terms of the trace distance between two reduced density matrices. Therefore, in the framework of two integrable models that falls in two different classes of symmetries, i.e. XY models in a transverse magnetic field and the N-cluster Ising models, I prove that the maximum of the distinguishability shows a time-exponential decay. Hence, in the limit of diverging time, all the informations about the particular initial ground state disappear, even if a system is integrable. Far away from the Gizburg-Landau scenario, I analyze a family of fullyanalytical solvable one dimensional spin-1/2 models, named the N-cluster models in a transverse magnetic field. Regardless of the cluster size N + 2, these models exhibit a quantum phase transition, that separates a paramagnetic phase from a cluster one. The cluster phase coresponds to a nematic ordered phase or a symmetry-protected topological ordered one, for even or odd N respectively. Using the Jordan-Wigner transformations, it is possible to diagonalize these models and derive all their spin correlation functions, with which reconstruct their entanglement properties. In particular, I prove that these models have only a non-vanishing bipartite entanglement, as measured by the concurrence, between spins at the endpoints of the cluster, for a magnetic field strong enough. Moreover, I introduce the minimal set of nonlinear ground-states functionals to detect all 1-D quantum orders for systems of spin-1/2 and fermions. I show that the von Neumann entanglement entropy distinguishes a critical system from a non critical one, because of the logarithmic divergence at a quantum critical point. The Schmidt gap detect the disorder of a system , because it saturates to a constant value in a paramagnetic phase and goes to zero otherwise. The mutual information, between two subsystems macroscopically separated, identifies the symmetry-breaking ordered phases, because of its dependence on the order parameters. The topological order phases, instead, via their deeply non-locality, can be characterized by analyzing all three functionals. [edited by Author]

In aggiunta alle tradizionali fasi ordinate con rottura spontanea di simmetria, ben descritte con un approccio alla Gizburg-Landau, dove una transizione di fase e intimamente connessa alla rottura spontanea di qualche simmetria e ad un parametro d’ordine locale, un sistema quantistico presenta anche fasi esotiche, senza analogo classico, che sono per esempio caratterizzate da parametri d’ordine non locali, senza una necessaria rottura di simmetria. Partendo da questi presupposti, questa tesi si pone come obiettivo quello di fare luce su alcuni problemi ancora aperti, come la distinguibilità tra stati fondamentali in sistemi quantistici con rottura spontanea di simmetria e la classificazione di tutte le fasi presenti in sistemi unidimensionali di spin-1/2 e fermioni, per i quali l’approccio alla Gizburg-Landau non fornisce una descrizione adeguata. In particolare, si da una spiegazione all’ipotesi secondo la quale gli stati fondamentali che rompono massimamente la simmetria sono quelli più classici, e quindi selezionati dalla decoerenza dell’ambiente, tra tutti gli stati fondamentali, ed energeticamente equivalenti, di una fase ordinata con rottura spontanea di simmetria. Si dimostra, infatti, che gli stati che rompono massimamente la simmetria sono gli unici stati che soddisfano tre criteri di classicalità: i) minimizzano l’entanglement bipartito, come quantificato dalla discord; ii) sono gli unici verso cui tutti gli altri stati fondamentali sono localmente convertibili, mediante LOCC; iii) minimizzano il tangle residuo, soddisfacendo al minimo la monogamia dell’entanglement. Viene analizzato, inoltre, come evolve la distinguibilità tra stati fondamentali, dopo un quench dei parametri Hamiltoniani. Dopo aver introdotto una misura quantitativa della distinguibilità, in termini della distanza tra due matrici densità ridotte, si dimostra, per due sistemi integrabili con diverse classi di simmetria, nel dettaglio il modello XY in campo magnetico e i modelli Ncluster Ising, che la distinguibilità decade esponenzialmente nel tempo e quindi, nel limite di tempi lunghi, tutte le informazioni sullo stato fondamentale di partenza si perdono, anche per sistemi integrabili, nei quali la termalizzazione non si verifica. Lontano dallo scenario Gizburg-Landau, si analizza una famiglia di modelli di spin-1/2 esattamente risolvibili, nel dettaglio i modelli N-cluster in campo magnetico, che mostrano una transizione tra una fase disordinata e una di tipo cluster, che puo essere nematica o topologica, rispettivamente per ` N pari o dispari. Usando le trasformazioni di Jordan-Wigner è possibile diagonalizzare questi modelli, ricavare lo stato fondamentale, le funzioni di correlazione fermioniche e tutte le loro proprietà di entanglement di. Si dimostra che questi modelli non hanno entanglement multipartito, ma solo entanglement bipartito, come misurato dalla concurrence, tra due spin alle estremita del cluster, per un campo magnetico sufficientemente intenso. Inoltre, si dimostra che l’entropia di von Neumann, lo Schmidt gap e la mutual information rappresentano il set minimo di funzionali non lineari della matrice densità ridotta, mediante le quali caratterizzare tutte le fasi presenti in sistemi unidimensionali di spin -1/2 e fermioni. In particolare, l’entropia di von Neumann caratterizza la criticalità del sistema, per la sua divergenza logaritmica al punto critico; lo Schmidt gap caratterizza il disordine di un sistema, perchè satura ad un valore costante nelle fasi disordinate e va rapidamente a zero altrove; la mutual information cattura le fasi ordinate con rottura spontanea di simmetria, per le quali cioè e possibile definire un parametro d’ordine diverso da zero su un supporto finito. Le fasi topologiche, per via della loro natura fortemente non locale, necessitano di tutte e tre i funzionali per essere individuate. [a cura dell'Autore]