Adapted numerical methods for evolutionary problems
Abstract
This study presents new numerical methods for solving differential/integral equations
of interest in applications. This thesis consists of four parts. Part I presents numerical methods for solving ordinary differential equations exhibiting oscillatory solutions.
This part proposes an adapted numerical integration based on exploiting a-priori known
information about the behavior of the exact solution, employing some well-known numerical methods in combination with the technique of exponential fitting. The proposed
method is shown to be highly effective in reducing error and improving the accuracy of
the numerical solutions.
Parts II and III of this thesis present the numerical methods to solve Volterra integral and fractional integral/differential equations. To accomplish this, we provide
effective numerical methods based on spectral methods and new orthogonal functions.
The proposed methods are based on using special functions such as Chebyshev polynomials, Chelyshkov functions, and other orthogonal functions. The effectiveness of the
proposed methods is examined by providing numerical experiments, which demonstrate
the high accuracy and efficiency of the proposed methods. Additionally, the results of
the proposed methods are compared with the existing methods, and it is shown that
the proposed methods provide more accurate and efficient solutions for the problems
considered in this thesis. [edited by Author] Questo studio presenta nuovi metodi numerici per la risoluzione di equazioni dif-
ferenziali/integrali di interesse nelle applicazioni. Questa tesi si compone di quattro
parti. Parte I presenta metodi numerici per risolvere equazioni dierenziali ordi-
narie che presentano soluzioni oscillatorie. Questa parte propone un’integrazione
numerica adattata basata sullo sfruttamento di informazioni note a priori sul com-
portamento della soluzione esatta, impiegando alcuni metodi numerici ben noti in
combinazione con la tecnica dell’adattamento esponenziale. Il metodo proposto si
dimostrato altamente ecace nel ridurre l’errore e migliorare l’accuratezza delle
soluzioni numeriche.
Le parti II e III di questa tesi presentano i metodi numerici per risolvere le equazioni
integrali/dierenziali di Volterra e integrali frazionarie. Per raggiungere questo obi-
ettivo, forniamo metodi numerici ecaci basati su metodi spettrali e nuove funzioni
ortogonali. I metodi proposti si basano sull’utilizzo di funzioni speciali come poli-
nomi di Chebyshev, funzioni di Chelyshkov, e altre funzioni ortogonali. L’ecacia dei
metodi proposti viene esaminata fornendo esperimenti numerici, che dimostrano
l’elevata accuratezza ed ecienza dei metodi proposti. Inoltre, i risultati dei metodi
proposti vengono confrontati con i metodi esistenti, ed dimostrato che i metodi
proposti forniscono soluzioni pi accurate ed ecienti per i problemi considerati in
questa tesi. [a cura dell'Autore]