Adapted numerical methods for evolutionary problems

Abstract

This study presents new numerical methods for solving differential/integral equations of interest in applications. This thesis consists of four parts. Part I presents numerical methods for solving ordinary differential equations exhibiting oscillatory solutions. This part proposes an adapted numerical integration based on exploiting a-priori known information about the behavior of the exact solution, employing some well-known numerical methods in combination with the technique of exponential fitting. The proposed method is shown to be highly effective in reducing error and improving the accuracy of the numerical solutions. Parts II and III of this thesis present the numerical methods to solve Volterra integral and fractional integral/differential equations. To accomplish this, we provide effective numerical methods based on spectral methods and new orthogonal functions. The proposed methods are based on using special functions such as Chebyshev polynomials, Chelyshkov functions, and other orthogonal functions. The effectiveness of the proposed methods is examined by providing numerical experiments, which demonstrate the high accuracy and efficiency of the proposed methods. Additionally, the results of the proposed methods are compared with the existing methods, and it is shown that the proposed methods provide more accurate and efficient solutions for the problems considered in this thesis. [edited by Author]

Questo studio presenta nuovi metodi numerici per la risoluzione di equazioni dif- ferenziali/integrali di interesse nelle applicazioni. Questa tesi si compone di quattro

parti. Parte I presenta metodi numerici per risolvere equazioni dierenziali ordi- narie che presentano soluzioni oscillatorie. Questa parte propone un’integrazione

numerica adattata basata sullo sfruttamento di informazioni note a priori sul com- portamento della soluzione esatta, impiegando alcuni metodi numerici ben noti in

combinazione con la tecnica dell’adattamento esponenziale. Il metodo proposto si dimostrato altamente ecace nel ridurre l’errore e migliorare l’accuratezza delle soluzioni numeriche. Le parti II e III di questa tesi presentano i metodi numerici per risolvere le equazioni

integrali/dierenziali di Volterra e integrali frazionarie. Per raggiungere questo obi- ettivo, forniamo metodi numerici ecaci basati su metodi spettrali e nuove funzioni

ortogonali. I metodi proposti si basano sull’utilizzo di funzioni speciali come poli- nomi di Chebyshev, funzioni di Chelyshkov, e altre funzioni ortogonali. L’ecacia dei

metodi proposti viene esaminata fornendo esperimenti numerici, che dimostrano l’elevata accuratezza ed ecienza dei metodi proposti. Inoltre, i risultati dei metodi proposti vengono confrontati con i metodi esistenti, ed dimostrato che i metodi proposti forniscono soluzioni pi accurate ed ecienti per i problemi considerati in questa tesi. [a cura dell'Autore]